Trigonometría: orígenes, historia, aplicaciones y su relevancia en México

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y las longitudes de los lados en los triángulos, y que, por extensión, analiza funciones periódicas y rotaciones. En su núcleo hay dos formas equivalentes de pensarla: como razones en triángulos rectángulos (seno, coseno, tangente) y como coordenadas sobre el círculo unitario (donde un ángulo se asocia a un punto (cos θ,sin θ). Esta doble cara (geométrica y analítica) es la que explica su gran versatilidad: desde resolver un problema de topografía hasta modelar una señal eléctrica.

Qué es:

La trigonometría combina geometría euclidiana con funciones que poseen propiedades clave: periodicidad (sin (θ+2π)=sin θ 

paridad $\sin (-\theta )=-\sin \theta$,  cos(−θ)=cos θ, 

y relaciones algebraicas como la identidad pitagórica 

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$\mathrm{0<span\; class="katex"\; style="text-align:\; justify;"><br></span>}$ $\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\sin x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{x^5}{5!}}-,\; ...<br>$ $\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots$

Estas expansiones explican por qué las funciones son infinitamente diferenciables y permiten conectar trigonometría con ecuaciones diferenciales, análisis de Fourier y teoría de señales —áreas fundamentales en ingeniería.

Cuándo y dónde se descubrió:

La trigonometría no surge de un solo momento; es el resultado de desarrollos independientes y continuos. En Grecia (siglo II a. C. y ss.), figuras como Hiparco de Nicea centraron su trabajo en la astronomía y construyeron tablas de cuerdas para medir arcos y posiciones estelares; Ptolomeo (siglo II d. C.) sistematizó este uso en el Almagesto, transformando conocimiento astronómico en procedimientos de cálculo. En la India (siglo V d. C.) –con Aryabhata como referencia– aparece la noción de jya (el precursor del seno), que facilita la manipulación algorítmica de razones trigonométricas. En el mundo islámico (siglos IX–XIII) se introducen y refinan funciones como la tangente y la trigonometría esférica, imprescindibles para el diseño de astrolabios y la determinación de la dirección de la Meca (qibla). En Europa el Renacimiento (siglos XV–XVI) vio la sistematización y difusión con obras como las de Regiomontano, que enlazaron estas herramientas con la navegación y la cartografía en la era de los descubrimientos. Finalmente, en la modernidad, la formalización analítica (series, números complejos, transformadas) la integró profundamente en la física y la ingeniería. Cada lugar aportó conceptos, tablas y técnicas que, juntos, consolidaron la trigonometría como disciplina.

Antecedentes y contribuciones clave:

Hiparco (c. 190–120 a. C.) estableció tablas y métodos de triangulación para astronomía; Ptolomeo (c. 100–170 d. C.) publicó tablas de cuerda en el Almagesto, que permitían calcular posiciones solares y planetarias. Aryabhata (499 d. C.) en la India introdujo la transformación conceptual del tratamiento de arcos en jya (seno) y tablas de valores. En la tradición islámica, al-Battānī (9.º–10.º s.) y Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī (1201–1274) avanzaron en trigonometría esférica y mensuraciones astronómicas; al-Kāshī (ca. 1380–1429) trabajó la precisión numérica y la ley que hoy conocemos como ley de cosenos. Regiomontano (siglo XV) popularizó tratados de trigonometría aplicada en Europa. Más tarde, los avances en series infinitas (p. ej. en tradiciones matemáticas indias y su redescubrimiento en Europa) permitieron el vínculo con el análisis moderno.

Usos en diferentes culturas y tiempos:

Astronomía: desde Babilonia y Grecia hasta India y el mundo islámico, la trigonometría se aplicó para predecir eclipses, posiciones planetarias y calendarios.

Navegación y cartografía: en la Europa del Renacimiento la trigonometría plana y esférica fue esencial para cartografiar y navegar grandes distancias.

Topografía y geodesia: en tareas de mensura y trazado de fronteras, la triangulación y las leyes trigonométricas permitieron medir la Tierra con métodos prácticos.

Ingeniería y arquitectura: la trigonometría determina pendientes, fuerzas, y geometría estructural (arcos, cúpulas, pendientes de techos).

Artes y música: las relaciones harmónicas y la modelación de ondas sonoras usan funciones trigonométricas para describir timbres y frecuencias.

Tecnologías modernas: en telecomunicaciones (modulación, filtros), electrónica (análisis de circuitos AC) y procesamiento de señales (Fourier), la trigonometría, a través de la fórmula de Euler y las funciones trigonométricas, es indispensable. Cada cultura adaptó estas herramientas a sus problemas concretos —astronómicos, religiosos, estratégicos o prácticos— y luego se transmitieron y perfeccionaron.

La trigonometría en México:

En la educación mexicana la trigonometría es materia obligada en secundaria alta y bachillerato y sirve de puente hacia ingeniería y ciencias. Universidades públicas como la UNAM, el IPN y la UAM la integran en núcleos formativos de carreras de ingeniería y ciencias físicas. En la práctica profesional, organismos como INEGI aplican principios trigonométricos en geodesia, cartografía, y redes geodésicas —actividades necesarias para planeación urbana, construcción de infraestructura y monitoreo ambiental. En ingeniería civil mexicana, la trigonometría se usa en diseño de puentes, pendientes de carreteras, cálculo de secciones transversales y en estudios de riesgo sísmico (evaluación geométrica de desplazamientos y vibraciones). Asimismo, en arqueología y estudios del patrimonio, técnicas trigonométricas han ayudado a documentar y reconstruir estructuras prehispánicas, aunque las herramientas y conceptos modernos se integraron más tarde.

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

Trigonometry: Origins, History, Applications, and Its Relevance in Mexico

Trigonometry is one of the most fascinating branches of mathematics, with a legacy that transcends cultures and centuries. It focuses on the study of the relationships between the sides and angles of triangles, and its foundations are essential for the advancement of science, technology, and engineering. Far from being an abstract field, trigonometry has played a key role in navigation, astronomy, architecture, and physics, and it remains indispensable in education and professional training, especially for students preparing to enter engineering.

When and Where Was It Discovered?

Trigonometry did not emerge from a single moment; it is the result of independent and continuous developments. In Greece (2nd century BCE onward), figures such as Hipparchus of Nicaea focused their work on astronomy and constructed chord tables to measure arcs and stellar positions; Ptolemy (2nd century CE) systematized this use in the Almagest, transforming astronomical knowledge into computational procedures. In India (5th century CE) —with Aryabhata as a central figure— the concept of jya (the precursor of the sine) appeared, facilitating the algorithmic manipulation of trigonometric ratios. In the Islamic world (9th–13th centuries) functions such as the tangent and spherical trigonometry were introduced and refined, becoming essential for the design of astrolabes and for determining the direction of Mecca (qibla). During the European Renaissance (15th–16th centuries), works such as those of Regiomontanus systematized and disseminated these tools, linking them to navigation and cartography in the Age of Discovery. Finally, in modern times, analytical formalization (series, complex numbers, transforms) deeply integrated trigonometry into physics and engineering. Each region contributed concepts, tables, and techniques that, together, consolidated trigonometry as a discipline.

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Background and Key Contributions

• Hipparchus (c. 190–120 BCE): established tables and triangulation methods for astronomy.

• Ptolemy (c. 100–170 CE): published chord tables in the Almagest, enabling calculations of solar and planetary positions.

• Aryabhata (499 CE, India): introduced the conceptual transformation of arc treatment into jya (sine) and created value tables.

• Islamic tradition: al-Battānī (9th–10th c.) and Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī (1201–1274) advanced spherical trigonometry and astronomical measurements; al-Kāshī (ca. 1380–1429) worked on numerical precision and the rule we now call the law of cosines.

• Regiomontanus (15th c.): popularized treatises on applied trigonometry in Europe.

• Later, the development of infinite series (e.g., in Indian mathematical traditions and their rediscovery in Europe) created the bridge to modern analysis.

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Uses Across Cultures and Eras

• Astronomy: from Babylon and Greece to India and the Islamic world, trigonometry was applied to predict eclipses, planetary positions, and calendars.

• Navigation and cartography: during the European Renaissance, plane and spherical trigonometry were essential for mapping and long-distance sea travel.

• Surveying and geodesy: triangulation and trigonometric laws enabled the measurement of the Earth for boundary mapping and land surveying.

• Engineering and architecture: trigonometry determines slopes, forces, and structural geometry (arches, domes, roof inclinations).

• Arts and music: harmonic relationships and sound wave modeling use trigonometric functions to describe timbre and frequencies.

• Modern technologies: in telecommunications (modulation, filters), electronics (AC circuit analysis), and signal processing (Fourier analysis), trigonometry —via Euler’s formula and trigonometric functions— is indispensable. Each culture adapted these tools to its own concrete problems—astronomical, religious, strategic, or practical—before they were transmitted and further refined.

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Trigonometry in Mexico

In Mexican education, trigonometry is a required subject in upper secondary school and high school, serving as a bridge to engineering and the sciences. Public universities such as UNAM, IPN, and UAM include it as a core part of engineering and physical science programs. In professional practice, institutions like INEGI apply trigonometric principles in geodesy, cartography, and geodetic networks—activities essential for urban planning, infrastructure construction, and environmental monitoring. In Mexican civil engineering, trigonometry is used in bridge design, road gradients, cross-sectional calculations, and seismic risk studies (geometric evaluation of displacements and vibrations). Likewise, in archaeology and heritage studies, trigonometric techniques have helped document and reconstruct pre-Hispanic structures, though modern tools and concepts were integrated later.

EXAMPLE 1

EXAMPLE 2

Referencias:

• Van Brummelen, G. (2015). What is Trigonometry? En Trigonometry: A Very Short Introduction (cap. 1). Princeton University Press.

• O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. (s. f.). Trigonometric functions. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews.

• O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. (s. f.). Arabic mathematics. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews.

• O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. (s. f.). Hipparchus of Nicaea. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews.

• O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. (s. f.). Regiomontanus. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews.

• Strick, H. K. (2009/2021). Jamshid al-Kashi (1380–1429) (trad. J. O’Connor). University of St Andrews.

• UNAM – Colegio de Ciencias y Humanidades (CCH). (s. f.). Matemáticas IV: Trigonometría. Universidad Nacional Autónoma de México.

• INEGI. (2017). Desarrollo de los procesos de medición geodésica. Instituto Nacional de Estadística y Geografía.

• Weichman, F. (2024). Useful Integrals and Identities: Trigonometric Identities (apunte del curso CHM 305). Princeton University.

• Columbia University. (s. f.). Complex exponentials and Euler’s formula (apuntes de curso).